Γριφος !

[swt]

Ποιο είναι το εμβαδό του παρακάτω τετραπλεύρου;

[panos59]

Ποιο είναι το εμβαδό του παρακάτω τετραπλεύρου;

είναι πολύ απλό ή μου φαίνεται ????
το εμβαδό είναι .......οκτώ τετραγωνικά εκατοστά!.......

[swt]

είναι πολύ απλό ή μου φαίνεται ????
το εμβαδό είναι .......οκτώ τετραγωνικά εκατοστά!.......

Σωστός!

[panos59]

ΚΑΙ ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ

Ένας άντρας ξεκινάει να περπατάει από ένα σημείο προς το σπίτι του!
Περπατάει με σταθερή ταχύτητα 4 Km/h και φτάνει τελικά στο σπίτι του σε 3 ώρες (180 λεπτά).
Μαζί του ξεκινάει να κάνει τη διαδρομή και ο σκύλος του, ο οποίος τρέχει πολύ πιο γρήγορα, με ταχύτητα 12 Km/h.
Ο σκύλος μάλιστα είναι μαθημένος να κάνει το εξής παιχνιδάκι :
Τον χτυπάει απαλά με το χέρι στο κεφάλι το αφεντικό του ξεκινώντας, ο σκύλος ξεκινάει να τρέχει, φτάνει πιο γρήγορα φυσικά στο σπίτι, φτάνοντας του χτυπάει το κεφάλι η αφεντικίνα του που τους περιμένει στον κήπο, ο σκύλος κάνει αμέσως μεταβολή και τρέχει πίσω στο αφεντικό του (που έχει εν τω μεταξύ πλησιάσει), φτάνοντας στον αφέντη-του εκείνος του ξαναχτυπάει το κεφάλι, και πάλι μεταβολή ο σκύλος, τρέχει πίσω στην αφεντικίνα του, φτάνοντας και πάλι μεταβολή, τρέχει, φτάνει, και πάλι μεταβολή, και πάλι μεταβολή, κλπ κλπ μέχρι που φτάνει και το αφεντικό στο σπίτι του!
Ο σκύλος θεωρούμε ότι τρέχει με σταθερή ταχύτητα, γιατί είναι νέος και καλογυμνασμένος.
Και, σας τίθεται το ερώτημα :
Πόσα τα χιλιόμετρα της διαδρομής που έτρεξε τελικά ο σκύλος "μεταβολή στη μεταβολή"???


καλη διασκέδαση!
περιμένω τις απαντήσεις σας

[maestro]

Ετσι οπως δινεται το προβλημα,
και ο ανθρωπος φαινεται να εχει σταθερη ταχυτητα.

Εχουμε και λεμε λοιπον, η λυση ειναι η εξης:
ταχυτητα ανθρωπου:
4 χλμ/60 λεπτα ή 2 χλμ/30 λεπτα ή 1 χλμ/15 λεπτα ή
0,5 χλμ/7,5 λεπτα ή 0,25 χλμ/3,75 λεπτα ή 0,125 χλμ/1,875 λεπτα ή 0,0625/0,9375 λεπτα ή
0,03125/0,46875

ταχυτητα σκυλου:
12 χλμ/60 λεπτα ή 6 χλμ/30 λεπτα ή 3 χλμ/15 λεπτα ή 1 χλμ/5 λεπτα ή 0,5 χλμ/2,5 λεπτα ή
1,5 χλμ/7,5 λεπτα ή 0,75 χλμ/3,75 ή 0,375/1,875 λεπτα ή 0,1875/0,9375 λεπτα ή
0,09375 χλμ/0,46875

1η βολτα σκυλου 12 χλμ = 1 ωρα = 60 λεπτα - ανθρωπος στο σημειο 4 χλμο
2η βολτα σκυλου πισω 6 χλμ = 1/2 ωρα =30 λεπτα επανασυναντηση με ανθρωπο στο 6 χλμο
3η βολτα σκυλου 6 χλμ = 1/2 ωρα =30 λεπτα πισω στην κυρια του - ανθρωπος στο 8 χλμο
4η βολτα σκυλου 3 χλμ σε 15 λεπτα - επανασυναντηση με ανθρωπο στο 9 χλμο
5η βολτα σκυλου 3 χλμ 15 λεπτα ωρα πισω στην κυρια του - ανθρωπος στο 10 χλμο
6η βολτα σκυλου 1,5 χλμ σε 7,5 λεπτα - επανασυναντηση με ανθρωπο στο 10,5 χλμο
7η βολτα σκυλου 1,5 χλμ 7,5 λεπτα ωρα πισω στην κυρια του - ανθρωπος στο 11 χλμο
8η βολτα σκυλου 0,75 χλμ σε 3,75 λεπτα - ανθρωπος στο 11,25 χλμο
9η βολτα σκυλου 0,75 χλμ 3,75 λεπτα ωρα πισω στην κυρια του - ανθρωπος στο 11,5 χλμ
10η βολτα σκυλου 0,375 χλμ σε 1,875 λεπτα - ανθρωπος στο 11,625 χλμο
11η βολτα σκυλου 0,375 χλμ 1,875 λεπτα ωρα πισω στην κυρια του - ανθρωπος στο 11,75 χλμ
12η βολτα σκυλου 0,1875 χλμ σε 0,9375 λεπτα - ανθρωπος στο 11,8125 χλμο
13η βολτα σκυλου 0,1875 χλμ 0,9375 λεπτα ωρα πισω στην κυρια του - ανθρωπος στο 11,875 χλμ
14η βολτα σκυλου 0,09375 χλμ σε 0,46875 λεπτα - ανθρωπος στο 11,90625 χλμο
15η βολτα σκυλου 0,09375 χλμ σε 0,46875 λεπτα ωρα πισω στην κυρια του - ανθρωπος στο 11,9375 χλμ
...
καπως ετσι δεν ειναι, εαν ισχυει πως και ο ανθρωπος πηγαινε με σταθερη ταχυτητα.
39,1875 χλμ έτρεξε ο σκύλος ως εδω ...
διαιρουμε συνεχως δια 2 αποστασεις και χρονους.

[swt]

Επειδή το πρόβλημα μου είναι γνωστό, θα δώσω τη δύσκολη λύση.
Αφού ο άνθρωπος έφτασε στο σπίτι του σε τρεις ώρες, η αρχικά απόσταση είναι 12 χιλιόμετρα. Ο σκύλος λοιπόν τρέχει αρχικά 12km. Στο σημείο αυτό ο άνθρωπος απέχει 8km. Αφού ο σκύλος τρέχει με τριπλάσια ταχύτητα θα συναντηθούν αφού ο σκύλος τρέξει τα 3/4 της διαδρομής, δηλ. 8*3/4=6, απόσταση την οποία θα ξανατρέξει επιστρέφοντας, θα τρέξει δηλαδή ακόμα 2*6km. Στο αντίστοιχο διάστημα ο άνθρωπος θα έχει προχωρήσει κατά τα 2/4 της διαδρομής και άρα θα απομένουν 8*2/4=4km. Με την ίδια λογική στη συνέχεια ο σκύλος θα τρέξει 2*3km, μετά 2*3/2km, μετά 2*3/4km κ.ο.κ. Αν το άθροισμα αυτό το ονομάσουμε x θα έχουμε:
x= 12+2*6+2*3+2*3/2+2*3/4+2*3/8+…
αφαιρώντας x/2= 6+2*3+2*3/2+2*3/4+2*3/8+…
έχω ότι x/2= 12+6=18
άρα x= 36km

Σαφώς υπάρχει και απλούστερη λύση, αλλά το αφήνω για τους επόμενους.

[swt]

Για να δω τι θυμόσαστε από γεωμετρία.
Ποιο είναι το εμβαδό του κόκκινου λουλουδιού; (όπου d η διάμετρος των ημικυκλίων και η πλευρά του τετραγώνου)

[panos59]

Η ΛΥΣΗ :

...........
άρα x= 36km
Σαφώς υπάρχει και απλούστερη λύση, αλλά το αφήνω για τους επόμενους.

...........
...
καπως ετσι δεν ειναι, εαν ισχυει πως και ο ανθρωπος πηγαινε με σταθερη ταχυτητα.
39,1875 χλμ έτρεξε ο σκύλος ως εδω ...
διαιρουμε συνεχως δια 2 αποστασεις και χρονους.

Αγαπητοί φίλοι swt και maestro,
ευχαριστώ κατ' αρχάς που ασχοληθήκατε με το πρόβλημα.
.....το πρόβλημα είναι σίγουρα παλιό και γνωστό όπως ο swt επισημαίνει, αλλά γι αυτό ακριβώς είναι και γνωστό γιατί αποδεικνύει πόσο ατυχές είναι το να πάει κανείς να το λύσει με ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ σκέψη! Πόσο δύσκολο και χρονοβόρο είναι δηλαδή να πας να βγάλεις το άθροισμα των όρων μιας φθίνουσας απειροσειράς! Ειδικά αν το βγάλεις και λάθος (φίλε maestro κάτι σου ξέφυγε ... Δεν είναι 39,1875, είναι 36 ακριβώς)
Το πρόβλημα λοιπόν αν το λύσεις με σκέψη ΦΥΣΙΚΗΣ είναι απλό, απλούστατο ....
είναι θέμα 2ας Γυμνασίου και όχι 2ου έτους Μαθηματικού
s = u . t διάστημα (ίσον) ταχύτητα (επί) χρόνος
από την κίνηση του ανθρώπου 4 x 3 = 12 Km
τόση είναι η απόσταση, τόσο περπάτησε ο άνθρωπος! 12 Km
και, ο σκύλος, στον ίδιο χρόνο αλλά με τριπλάσια ταχύτητα κίνησης (12km/h αντί 4Km/h)
διανύει τριπλάσια απόσταση από τον άνθρωπο!
ο σκύλος δηλαδή διανύει 3 x 12 = 36 Km......
Αυτά !!!!!!
και παλι σας ευχαριστώ!
και σαν Φυσικούς, και σαν Μαθηματικούς!

[panos59]

Για να δω τι θυμόσαστε από γεωμετρία.
Ποιο είναι το εμβαδό του κόκκινου λουλουδιού; (όπου d η διάμετρος των ημικυκλίων και η πλευρά του τετραγώνου)

........
λοιπόν ...
πρώτα ψάχνουμε να βρούμε το εμβαδό των λευκών τριγώνων, (αυτών με την μία ευθεία και τις δυο κοίλες πλευρές).
Αν από το τετράγωνο πλευράς d αφαιρέσεις δύο ημικύκλια διαμέτρου d, (έναν πλήρη κυκλικό δίσκο δηλαδή), βρίσκεις το εμβαδό 2 λευκών τριγώνων
Το διπλασιάζεις λοιπόν (γίνεται εμβαδό 4 λευκών τριγώνων)
και το αφαιρείς από το εμβαδό του τετραγώνου (το d υψωμένο στην 2)
sorry για την περιγραφική λύση, δεν μπορώ να γράψω τύπους π.χ. "ντε τετράγωνο τέταρτα" κλπ ειδάλλως, θα έγραφα ότι το ζητούμενο εμβαδό είναι τελικά :
ντε στο τετράγωνο επί (παρένθεση) πι δεύτερα μείον ένα (παρένθεση)..........

[swt]

........
λοιπόν ...
πρώτα ψάχνουμε να βρούμε το εμβαδό των λευκών τριγώνων, (αυτών με την μία ευθεία και τις δυο κοίλες πλευρές).
Αν από το τετράγωνο πλευράς d αφαιρέσεις δύο ημικύκλια διαμέτρου d, (έναν πλήρη κυκλικό δίσκο δηλαδή), βρίσκεις το εμβαδό 2 λευκών τριγώνων
Το διπλασιάζεις λοιπόν (γίνεται εμβαδό 4 λευκών τριγώνων)
και το αφαιρείς από το εμβαδό του τετραγώνου (το d υψωμένο στην 2)
sorry για την περιγραφική λύση, δεν μπορώ να γράψω τύπους π.χ. "ντε τετράγωνο τέταρτα" κλπ ειδάλλως, θα έγραφα ότι το ζητούμενο εμβαδό είναι τελικά :
ντε τεράγωνο επί (παρένθεση) πι δεύτερα μείον ένα (παρένθεση)..........

Ακριβώς φίλε Πάνο.
Το πρόβλημα με το λουλούδι το θυμήθηκα γιατί είναι τρόπον τινά παρόμοιο με το δικό σου. Η συνηθισμένη δηλαδή γεωμετρική προσέγγιση του προβλήματος απαιτεί την εύρεση του εμβαδού του κυκλικού τμήματος που αντιστοιχεί σε μισό φύλλο, το οποίο στη συνέχεια το πολλαπλασιάζεις με το 8. Αλλά υπάρχει και η πολύ πιο απλή λύση, την οποία και βρήκες!